Dwa łyki matematyki

Zapoznałem się z pozycją ważną dla zrozumienia procesów zachodzących we współczesnej piłce nożnej, a związanych z wykorzystaniem matematyki. Mowa o książce Davida Sumptera ”Piłkomatyka. Matematyczne piękno futbolu”. Jej treść, w ogromnym skrócie, z odniesieniami do naszego klubu, postaram się przybliżyć czytelnikom czarnej-eLki.

 

Rozwój technik opartych ma matematyce nie mógł i nie ominął piłki  nożnej. Od wielu już lat trudno sobie wyobrazić ustalanie taktyki i organizacji gry bez sztabu analityków. Z matematycznego punktu widzenia prawdopodobieństwo strzelenia gola jest takie samo w każdej chwili gry. O ile istnieje wiele czynników wpływających na częstotliwość, z jaką drużyny zdobywają bramki, o tyle dokładny czas padania goli jest losowy. Opracowany na podstawie rozkładu Poissona model matematyczny ilości zdobywania bramek w meczach w dłuższej przestrzeni czasowej prawie dokładnie zgadza się z rzeczywistym histogramem. Im więcej danych jest uwzględnianych, tym podobieństwo większe. Znamy więc np. średnią liczbę goli na mecz, która wynosi 2,79, ale dokładny moment ich zdobywania jest nieprzewidywalny. Paradoks polega na tym, że mechanizm losowy wyjaśnia wiele kwestii. To, że gole padają losowo, czyni wzór przewidywalnym dla wyników spotkań. Ta przewidywalność polega na wykorzystaniu częstotliwości zdarzeń  przeszłych do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń przyszłych. W matematyce nazywa się to modelem ewolucji recesywnej, który głosi, że jeżeli w przeszłości wystąpiły określone zdarzenia ze stałą częstotliwością to prawdopodobieństwo ich zaistnienia w przyszłości jest wielokrotnie wyższe, niż ich niezaistnienie. Np. dla znającego te modele nie mogło być żadnym zaskoczeniem, że Legia awansując do LE osiągnie znacznie gorsze wyniki w lidze, skoro w wielu ostatnich latach dotykało to każdej polskiej drużyny. Winą  kierownictwa klubu jest to, że nie zrobiono nic, aby efekt ewolucji recesywnej znacząco osłabić, głównie przez wzmocnienia kadry.

Większości sukcesów sir Aleksa Fergusona w MU czy Kazia Górskiego nie można zrozumieć w kategoriach losowości, aby je pojąć musimy poznać ukryte mechanizmy. Ironia polega na tym, że zdarzenia, które nie są losowe, są znacznie trudniejsze do zrozumienia i do przewidzenia. Każdy kibic ma podobny pogląd na futbol, który jego zdaniem polega na wykorzystaniu nadarzających się okazji i wystrzeganiu się błędów. Reszta jest chaosem. Dyskusje medialne sprowadzają się do „talentu”, a nawet „geniuszu” u napastników i „koszmarnych” lub „szokujących” błędów obrońców. Jednych uznaje się za bohaterów, a drugich za winowajców. Taktyka zostaje wspomniana, ale na początku meczu i to na krótko, bo potem cała uwaga zostaje skupiona na jednostkach, tak jakby futbol był grą indywidualną. Najszersza, ale i najprostsza perspektywa oglądu piłki nożnej wiąże się z ustawieniami,  np. 4-4-2, 3-5-2 lub 4-3-3, gdzie liczby oznaczają ilość obrońców, pomocników i napastników. Bardziej skomplikowane systemy jak 4-2-3-1, 3-4-2-1 czy 4-1-2-1-2 odzwierciedlają  plany na grę w środku pola. Ustawienia dają z grubsza pojęcie o zamierzonej strategii i rolach w niej zawodników. Matematyka natomiast pozwoliła na ustalenie sieci ustawień i połączeń pomiędzy ogniwami (zawodnikami i ich pozycjami), co pozwoliło na uświadomienie w jak ogromnym stopniu w ciągu kilkudziesięciu lat ewoluowała taktyka (ale to temat na inne opowiadanie). Najczęściej spotykaną siecią połączeń są te oparte na zestawie trójkątów rozwartokątnych. Każdy zawodnik, głównie środka pola, ma pięć opcji podań, z których każde stanowi bok trójkąta. Może podać to tyłu lub do przodu oraz po skosie w obie strony, też do przodu lub do tyłu. Każdy zawodnik działa jak przekaźnik, do którego piłka trafia z jednego kierunku i od którego może być szybko posłana w innym kierunku. Istnieje matematyczny związek pomiędzy sieciami trójkątów rozwartokątnych, a wydajnym wykorzystaniem przestrzeni. Na podstawie programu można ustalić typową dla danej drużyny sieć połączeń i porównać ją z pozycjami zawodników na boisku. Im bardziej te modele są ze sobą zbieżne, tym drużyna osiąga lepsze wyniki. W praktyce oznacza to, że jeżeli zespół buduje sieć z trójkątów rozwartokątnych to musi dzielić pole gry na odpowiednio ukształtowane strefy. I odwrotnie, jeżeli każdy zawodnik zajmuje ściśle określoną przestrzeń to tworzy sieć złożoną z trójkątów. Takie zbalansowanie wymaga, aby w każdej strefie na każdej pozycji grał odpowiedniej klasy zawodnik. Przekładając te prawidłowości na grę Legii w obecnej rundzie to łatwo zauważaliśmy gubienie stref, podwajanie, potrajanie - co powodowało, że nasza gra tak w defensywie, jak w ofensywie nie mogła być efektywna.

Oczywiście, że system gry wymaga elastyczności stref, a struktura drużyny musi nadążać za szybko zmieniającymi się warunkami. Jednocześnie musimy uświadomić sobie, iż te modele oparte na triangulacji i teselacji nie są znane zawodnikom. Oni tworzą te struktury , bo są naturalne i skuteczne. Nie teoria, ale tysiące godzin jakie zawodnicy spędzają na boisku (treningi i mecze) ukształtowały ich sposób poruszania się. Nauka tylko ustala, że jest on zgodny z regułami optymalizacji wysiłku.

O przebiegu meczu i jego wyniku decyduje sposób poruszania się i ustawiania się wobec rywali i kolegów z drużyny. Modele matematyczne dowodzą, że obrona ma zdecydowaną przewagę nad atakiem. Jeżeli obrońca porusza się prawidłowo względem piłki i napastnika odbierając mu przestrzeń, to atakujący nie ma szans na zdobycie bramki. Dlatego tak ogromnie są cenieni skuteczni napastnicy, którzy potrafią wykorzystać najmniejszy błąd obrońcy. Co znaczy, że  napastnicy są tym lepsi, im obrońcy gorsi. Niestety w Legii obrońcy nie stanowili przeszkody nawet dla kiepskich napastników i w tym tkwiła nasza największa słabość.

Rzecz polega na tym, że jak sekretem ataku jest tworzenie stref wolnej przestrzeni w rejonie pola karnego, tak sekretem dobrej obrony jest zmniejszanie rozmiaru tych stref. Algorytm wytworzony przez twórców programu komputerowego określającego procent skuteczności dowodzi, że w w symulacjach obrońca wygrywa z napastnikiem. Kiedy drużyna przegrywa to przez swoje najsłabsze ogniwo.

Zadaniem matematyki w futbolu nie jest jednak opowiadanie o rozkładzie Poissona, diagramach Woronoja, sieciach powiązań czy wektorach pól przepływu, ale znalezienie przy ich pomocy odpowiedzi na pytanie: dlaczego zespół przegrywa lub wygrywa? Pod tym względem tak naprawdę przełom nastąpił w 2012 roku, kiedy to dzięki oprogramowaniu zdołano graficznie nakreślić poruszanie się piłki po boisku. Prof. Sumpter poddaje wnikliwej analizie grę trzech drużyn podczas Euro 2012: Anglii, Włoch i Hiszpanii. Anglicy większość podań kierowali od bramkarza do środkowego napastnika i nie stworzyli spójnej sieci podań w środku pola. Sieć włoskich powiązań opierała się na jednym graczu (Pirlo), przez co ich gra przypominała koło rowerowe i  była zbyt scentralizowana . I Anglicy i Włosi po materiale  analitycznym zmienili styl gry drużyn. Natomiast gra Hiszpanów oparta była na czterech ośrodkach kierowniczo-decyzjnych.

Angielski socjolog Thomas Grund skupił się na dwóch aspektach sieci. Pierwszy to miara skuteczności podań – ile celnych podań wykonywanych jest w jednostce czasu np. w minutę. Druga miara to stopień centralizacji sieci. O ile pierwsza miara była łatwa do określenia, to drugą wyliczył metodą proporcjonalną, a więc jaki udział w ilości celnych podań miał poszczególny zawodnik. Te dwie miary w miarę poprawnie pozwalają na przewidywanie wyników spotkań, a także na opracowanie map taktycznych. To wszystko razem zależy od tego co nazywamy stylem gry. Sklasyfikowania stylów gry dokonali wspólnie prof. Sumpter oraz prof. McMullan w postaci aplikacji Statszone, korzystając z danych Firmy Opta Sports. Wynika z niej, że styl oparty na wielu ośrodkach decyzyjnych jest znacznie skuteczniejszy od stylów scentralizowanych lub jednokierunkowych.

Drużyna Legii po kontuzji Kapustki przez długi okres nie dysponowała nawet jednym ośrodkiem, i było tak do czasu niezłej formy Josuego. Lecz, aby wyniki drużyny były lepsze, Legia musi  mieć jeszcze co najmniej drugiego gracza o zbliżonej charakterystyce.

Modele matematyczne z całą bezwzględnością obnażyły nadmierną wartość przypisywaną analizie gry przeciwnika jako bazy do własnej strategii gry. Myślenie o pokonaniu przeciwnika musi zawsze zaczynać się od analizy własnych zasobów kadrowych, a w szczególności jak skłonić swoją drużynę, aby grała jako całość. Tym, który stworzył podwaliny pod ewolucyjny system matematyczny pozwalający zbadać stopień wykorzystania umiejętności zawodników był Walery Łobanowski. Jeszcze kilka lat temu i  wcześniej był on znany z opracowania teorii pressingu, ale obecnie wszyscy korzystają z jego teorii liniowości, nadliniowości i podliniowości. Dla Łobanowskiego drużyna była systemem matematycznym, dla którego miarą efektywności było „Aby wydajność podsystemu była wyższa niż suma wydajności jego części składowych”. Jeżeli więc wszyscy zawodnicy grają na miarę swoich możliwości, wykonują efektywnie zadania i nie potrzebują doraźnej pomocy  ze strony kolegów to cały system charakteryzuje się nadliniowością. Gdy jakieś jedno  ogniwo zawiedzie do mamy do czynienia z liniowścią, a gdy kilka to jest to podliniowość. Matematycznie, w systemie 01, oblicza się to następująco: jeżeli  wszyscy dają z siebie 100% to suma wysiłków wynosi 11, a razem jest to 11x11 = 121. Jeżeli jeden zawodzi to suma wynosi (10x10 ) + (0x1)= 100. Gdy zawodzi więcej to spada poniżej 100. Paradoks sytuacji polega na tym, że kiedy wysiłek drużyny spada poniżej 50% to dalsze działania na rzecz całego zespołu nie leży w interesie żadnego z graczy. To czy trener odniesie sukces czy porażkę zależy więc od tego czy potrafi zmusić każdego zawodnika do maksymalnego wysiłku lub do wyeliminowania z zespołu  „nierobów”. W Legii zbyt długo tolerowano tych, którzy olewali ligę, aż wydajność spadła poniżej połowy, a to oznaczało katastrofę.

Powyżej podane sposoby zastosowania matematyki  mają swoje  ograniczenia, a są nimi m.innymi:
- nadmiar danych przy równoczesnym braku narzędzi  badawczych do określenia ich faktycznego wpływu na wynik drużyny (w przeciętnym meczu  rejestruje się obecnie ok. 212040000 danych liniowych). Badacze definiują tylko to co wiedzą na pewno, reszta pozostaje niewykorzystana,
- brak możliwości przejścia od statystycznych opisów formacji, ustawienia i ruchu piłki oraz zawodników do dynamicznej analizy interakcji graczy. Na razie matematyka nie ma miernika stopnia koordynacji drużyny, współpracy i współzależności. Bowiem koordynacja ruchu jest kluczem do skuteczności defensywy pod warunkiem jej synchronizacji. Wiemy tylko,że te cechy łatwiej jest osiągnąć przeciwko silnym rywalom, a nie słabym (vide Legia),
- wiemy co to jest autorytet, ale nie potrafimy zobiektywizować w czym on się przejawia i kto staje się liderem w konkretnej sytuacji boiskowej,
- nie wiemy jaki jest czasookres skuteczności pressingu czyli jak długo można go stosować, aby nie stał się swoim przeciwieństwem.

W każdym razie przed współpracą piłki nożnej i matematyki wielka przyszłość. Kujony górą!